Incomplete posting: differentiability of maps and functions

Towards the next lecture on Jan 24, 2012, the notes for this and the previous lecture. It will be completed and uploaded once the subject is treated in full, then the link will be replaced.

תרגיל בית מס’ 4

שלום,

מצורף קישור לתרגיל בית רביעי ואחרון.

תאריך הגשה: 31 בינואר. הפעם לא יתקבלו איחורים.

בהצלחה,

דימה

פתרון של תרגיל בית מס’ 2

בלינק זה תמצאו את הפתרון של תרגיל בית מס’ 2

בברכה,

דימה

Lectures 11-12, January 3, 10 (2012)

Properties of continuous functions. Basic notions of topology

The standard list of properties of functions, continuous on intervals, includes theorems on intermediate value, on boundedness, on attainability of extremal values etc.

We explain that these results are manifestations of the following phenomenon. There are several properties of subsets of (and, in general, arbitrary subsets of the Euclidean space), which can be defined using only the notions of limit and proximity. Such properties are called topological. Examples of such properties are openness/closeness, connectedness (arc-connectedness) and compactness.

The general principle then can be formulated (vaguely) as follows: the topological properties are preserved by continuous maps (or their inverses).

The lecture notes are available here.

תרגיל בית מס’ 3

אין זמן למנוחה, ועל כן מוגש בפניכם תרגיל בית מס’ 3.

שימו לב כי יש לכם את כל הכלים לפתור את התרגיל, למרות שהוא עלול להיראות קשה ממבט ראשון.

תאריך אחרון להגשה: 10 בינואר.

בהצלחה!

Lecture 10, December 27, 2011

Continuity and limits of functions of real variable

In the first lecture we introduce the notion of continuity of a function at a given point in its domain and a very close notion of a limit at a point outside of the “natural” domain.

This notion is closely related to the notion of sequential limit as introduced earlier. This paves a way to generalize immediately all arithmetic and order results from numeric sequences to functions.

The novel features involve one-sided limits, limits “at infinity” and continuity of composition of functions.

The (unfinished) notes, to be eventually replaced by a more polished text, are available here: follow the updates, this temporary link will eventually be erased.

Lectures 8-9, December 13 and 20

Limits of sequences

We spend some time considering different flavors of “limit behavior”: stabilization, approximate stabilization etc. A sequence is called converging, if it -stabilizes for any positive accuracy .

To show that passing to a limit “respects” arithmetic operations, we need to work out a bit of “interval arithmetic” with a special attention to the division which may cause problems.

We discuss the weaker notion of a partial limit (accumulation point) and study under what assumptions a unique partial limit is the genuine limit.

Finally, we show that monotone bounded sequences always converge. This is one of the most powerful tools to show that the limit exists when it is not possible to compute it explicitly.

The lecture notes (in pdf) are available here.

סיכום תירגולים בנושא סדרות והתכנסות

שלום לכולם,

מצורף קישור לקובץ בו תמצאו סיכום של הנושאים שלמדנו בשבועות האחרונים.  כל הערה/תיקון יתקבלו בברכה רבה.

דימה

קובץ תרגילים לא להגשה

בקישור זה תוכלו למצוא שני תרגילים פשוטים בנושא שברים משובלים.
לא להגשה.

דימה

תרגיל בית מס’ 2

שלום לכולם,
קובץ תרגילים מס’ 2 נמצא .
בקישור הזה

להגשה עד 22 בדצמבר.

דימה