# Sergei Yakovenko's blog: on Math and Teaching

## Wednesday, November 18, 2009

### A sample theorem, a sample proof

Let $f\colon X\to\mathbb R$ be a function and $a\in\mathbb R$ a point.

Theorem.

$A=\lim_{x\to a}f(x)$      (1)

if and only if

$\forall\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies \lim f(x_n)=A.$     (2)

Proof.
1. $(1)\implies(2)$ direction:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta>0:\forall x\ 0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-A|<\varepsilon$ by (1).

$\forall \{x_n\}\in\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies\exists N:\ \forall n\ge N\ 0<|x_n-a|<\delta$ by definition of the limit of sequence $\{x_n\}$.

Therefore $\forall \{x_n\}\in\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ \forall n\ge N\ |f(x_n)-A|<\varepsilon$.

2. $(1) \Longleftarrow (2)$ direction: proof by contradiction.

Assume that the claim $\boxed{\lim_{x\to a}=A}$ is wrong.

Then $\exists \varepsilon_*>0$ such that the claim $\boxed{\exists\delta>0,\ \forall x\ 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon}$ is wrong.

Then $\exists \varepsilon_*>0\ \forall\delta>0$ the claim $\boxed{\forall x\ 0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-A| <\varepsilon}$ is wrong.

Then $\exists \varepsilon_*>0\ \forall\delta>0\ \exists x=x_\delta:\ \bigl\{\ 0<|x-a|<\delta\ \&\ |f(x)-A|\ge \varepsilon\bigr\}$       (*).

Let $\delta_n>0$ be a sequence of positive numbers and $\{x_n\}$ a sequence of points constructed as follows:

• $\delta_1=1$;
• $x_n=x_{\delta_n}$ is obtained from (*) for $\delta=\delta_n$;
• $\delta_{n+1}=\tfrac12|x_n-a|$ for all $n=1,2,3,\dots$.

Then $\{x_n\}$ converges to $a$, $x_n\ne a$ and $\forall n\in\mathbb N\ |f(x_n)-A|\ge\varepsilon_*$.

Therefore the claim $\boxed{\forall\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies \lim f(x_n)=A}$ is wrong in contradiction with (2). $\blacksquare$

___________________________________

## פתרון מילולי

מחד גיסא, נראה שאם הפונקציה f שואפת ל-A ב-a, אז לכל סדרה x_n המתכנסת ל-a, הסדרה (f(x_n שואפת ל-A. אכן, עבור כל קטע פתוח I סביב A, קיימת סביבה נקובה N של a המועתקת ע”י f ל-I. הסדרה x_n נמצאת כמעט כולה ב-N, ולכן התמונות (f(x_n נמצאות כמעט כולן ב-I. לכן, לפי ההגדרה, (f(x_n מתכנסת ל-A, כנדרש.

מאידך גיסא, נראה שאם הפונקציה f אינה שואפת ל-A ב-a, אז יש סדרה x_n כך ש-(f(x_n אינה שואפת ל-A. אכן, קיים קטע פתוח I סביב A כך שקיימות נקודות קרובות כרצוננו ל-a (ושונות מ-a) שתמונותיהן ע”י f לא נמצאות ב-I. מתוך הנקודות הללו ניתן לבחור סדרה אינסופית x_n המתכנסת ל-a. אבל אז ברור ש-(f(x_n אינה מתכנסת ל-A, כנדרש.

שאלות הבנה:

1. בחלק הראשון, מדוע כמעט כל אברי הסדרה x_n נמצאים ב-N?
2. בחלק השני, מדוע ניתן לבחור סדרה אינסופית x_n המתכנסת ל-a כך שהתמונות (f(x_n לא נמצאות ב-I?
3. מדוע הסדרה המתקבלת (f(x_n אינה מתכנסת ל-A?