Sergei Yakovenko's blog: on Math and Teaching

Wednesday, November 18, 2009

A sample theorem, a sample proof

Let f\colon X\to\mathbb R be a function and a\in\mathbb R a point.

Theorem.

A=\lim_{x\to a}f(x)      (1)

if and only if

\forall\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies \lim f(x_n)=A.     (2)

Proof.
1. (1)\implies(2) direction:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta>0:\forall x\ 0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-A|<\varepsilon by (1).

\forall \{x_n\}\in\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies\exists N:\ \forall n\ge N\ 0<|x_n-a|<\delta by definition of the limit of sequence \{x_n\}.

Therefore \forall \{x_n\}\in\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ \forall n\ge N\ |f(x_n)-A|<\varepsilon.

2. (1) \Longleftarrow (2) direction: proof by contradiction.

Assume that the claim \boxed{\lim_{x\to a}=A} is wrong.

Then \exists \varepsilon_*>0 such that the claim \boxed{\exists\delta>0,\ \forall x\ 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon} is wrong.

Then \exists \varepsilon_*>0\ \forall\delta>0 the claim \boxed{\forall x\ 0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-A| <\varepsilon} is wrong.

Then \exists \varepsilon_*>0\ \forall\delta>0\ \exists x=x_\delta:\ \bigl\{\ 0<|x-a|<\delta\ \&\ |f(x)-A|\ge \varepsilon\bigr\}       (*).

Let \delta_n>0 be a sequence of positive numbers and \{x_n\} a sequence of points constructed as follows:

  • \delta_1=1;
  • x_n=x_{\delta_n} is obtained from (*) for \delta=\delta_n;
  • \delta_{n+1}=\tfrac12|x_n-a| for all n=1,2,3,\dots.

Then \{x_n\} converges to a, x_n\ne a and \forall n\in\mathbb N\ |f(x_n)-A|\ge\varepsilon_*.

Therefore the claim \boxed{\forall\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq\mathbb R\smallsetminus\{a\}\ \lim x_n=a\implies \lim f(x_n)=A} is wrong in contradiction with (2). \blacksquare

___________________________________

פתרון מילולי

 

מחד גיסא, נראה שאם הפונקציה f שואפת ל-A ב-a, אז לכל סדרה x_n המתכנסת ל-a, הסדרה (f(x_n שואפת ל-A. אכן, עבור כל קטע פתוח I סביב A, קיימת סביבה נקובה N של a המועתקת ע”י f ל-I. הסדרה x_n נמצאת כמעט כולה ב-N, ולכן התמונות (f(x_n נמצאות כמעט כולן ב-I. לכן, לפי ההגדרה, (f(x_n מתכנסת ל-A, כנדרש.

 

מאידך גיסא, נראה שאם הפונקציה f אינה שואפת ל-A ב-a, אז יש סדרה x_n כך ש-(f(x_n אינה שואפת ל-A. אכן, קיים קטע פתוח I סביב A כך שקיימות נקודות קרובות כרצוננו ל-a (ושונות מ-a) שתמונותיהן ע”י f לא נמצאות ב-I. מתוך הנקודות הללו ניתן לבחור סדרה אינסופית x_n המתכנסת ל-a. אבל אז ברור ש-(f(x_n אינה מתכנסת ל-A, כנדרש.

 

 

שאלות הבנה:

  1. בחלק הראשון, מדוע כמעט כל אברי הסדרה x_n נמצאים ב-N?
  2. בחלק השני, מדוע ניתן לבחור סדרה אינסופית x_n המתכנסת ל-a כך שהתמונות (f(x_n לא נמצאות ב-I?
  3. מדוע הסדרה המתקבלת (f(x_n אינה מתכנסת ל-A?
Advertisements

6 Comments »

  1. Why no one is commenting?
    Am I totally forgotten the math or you’re skipping some quantifiers in 1 => 2?

    Comment by Nick — Wednesday, November 18, 2009 @ 6:51 | Reply

    • Thanks for your vigilance! The quantifier added as appropriate. Your future remarks will be most welcome…

      Comment by Sergei Yakovenko — Wednesday, November 18, 2009 @ 7:18 | Reply

  2. I’m not sure, but I still don’t see it:
    in the third line of 1 => 2 you have \delta – is it supposed to be the same \delta as in the line before?
    Or you have to quantify it first saying \forall \delta>0 \exist N:
    and then to join both lines into the third?

    It is so Fichtengoltz 🙂

    Comment by Nick — Wednesday, November 18, 2009 @ 7:59 | Reply

    • My latex doesn’t parse 😦
      \forall 0 \less \delta \exists N :

      Comment by Nick — Wednesday, November 18, 2009 @ 8:02 | Reply

      • Sorry for spamming – just delete the previous.
        What I intended to say was that you have to first quantify by \delta,
        like \forall \delta > 0 \exists N :. Don’t you?

        Comment by ionial — Wednesday, November 18, 2009 @ 8:10

    • המתרה של התרגיל היא להדגיש את ההבדלים בין “כתב מלא” כולל את כל ה כמתים, ו “כתב חסר” המיועד למי שיודע להשלים את כל הפרטים במידה ויהי צורך…

      Comment by Sergei — Wednesday, November 18, 2009 @ 8:12 | Reply


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: