Sergei Yakovenko's blog: on Math and Teaching

Sunday, November 1, 2015

Tutorial 1, Thu Oct 29, 2015

,שלום לכולם

בתרגול היום עסקנו בשאלה ‘איך סוכמים אינסוף איברים?’. ראינו כי האינטואיציה שלנו צריכה לעבוד קשה כשקופצים מעיסוק בכמויות סופיות לאינסופיות, ובפרט מבדידות לרציפות, והזכרנו כי השיח המתמטי העוסק במושג ‘אינסוף’ נמצא בתהליך מתמשך של התפתחות. בפרט, המושג ‘התכנסות טורים’ הוא מורכב יותר משנדמה על סמך הלימודים בתיכון (שם הדיון מוגבל לרוב לטורים גיאומטריים) או אפילו על סמך התואר הראשון.                                                                                                       י

התחלנו בתזכורת לגבי המובן הרגיל של התכנסות טורים אינסופיים, המבוסס על התכנסות של סדרת הסכומים החלקיים של הטור, והמשכנו לדיון קצר לגבי טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל – אך מניפולציות אלגבריות פשוטות מצליחות “בכל זאת” לשייך ערך מספרי עבור טורים אלו. דנו בשלוש דוגמאות לטורים אינסופיים של מספרים שלמים ש”מתכנסים” למספר שברי, שלילי, או גם וגם, ונגענו (בעדינות רבה) בכמה מהכלים המתמטיים שפותחו עם השנים כדי להתמודד עם טורים מתבדרים.                       י

.כך למשל, עבור הטור  1-1+1-1+1... ראינו את העיסוק במקרים הגבוליים של נוסחת הסכום לסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ואת שיטת הסכימה של צ’זארו, שתי שיטות המשייכות את הערך \frac{1}{2} לטור זה

עבור הטור 1+2+4+8+... הזכרנו את השינוי בנקודת המבט לגבי איברי הטור, כך שניתן להתבונן בו כמייצג טור של מספרים 2-אדיים. מנקודת מבט זו (ובשונה מאד מאשר במובן הרגיל של התכנסות טורים, שם הטיעון הבא שגוי), האיבר הכללי של הטור שואף לאפס ולכן הטור מתכנס ב2-אדיים, ובפרט – מתכנס שם לערך -1 .      בנוסף, ברגע שמצאנו מובן עבור ההתכנסות של הטור, אנו מקבלים לגיטימיזציה לשימוש נקודתי במניפולציות האלגבריות על הטור אשר מביאות לאותו ערך.                            י

:עבור הטור 1+2+3+4+... ראינו כי המניפולציות האלגבריות מביאות לתוצאה שלגביה האינטואיטיציה שלנו נאלמת דום: -\frac{1}{12}. דוגמה למניפולציות אלו תוכלו לראות בסרטון הבא

.בנוסף, ציינתי בקצרה כי קיימות שיטות סכימה נוספות שמשייכות לטור זה את הערך הנ”ל, כגון שיטת הסכימה של אבל, שיטת הסכימה של רמנוג’אן, וגם פונקציית זטא של רימן

לסיכום – הקפיצה ממספר סופי של דברים למספר אינסופי אינה מובנת מאליה, וחלק מהאתגר הוא לבצע את הקפיצה באופן שישמר את התוצאות המוסכמות בקהילה. מתמטיקאים שונים בחרו בדרכים שונות, וחלק מהיופי שבמתמטיקה הוא הדרכים השונות להסתכל על אותו דבר, וכך להבין אותו טוב יותר.                                                                                                                                                                                                                                                             י

Advertisements

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: