Sergei Yakovenko's blog: on Math and Teaching

Sunday, November 1, 2015

Tutorial 1, Thu Oct 29, 2015

,שלום לכולם

בתרגול היום עסקנו בשאלה ‘איך סוכמים אינסוף איברים?’. ראינו כי האינטואיציה שלנו צריכה לעבוד קשה כשקופצים מעיסוק בכמויות סופיות לאינסופיות, ובפרט מבדידות לרציפות, והזכרנו כי השיח המתמטי העוסק במושג ‘אינסוף’ נמצא בתהליך מתמשך של התפתחות. בפרט, המושג ‘התכנסות טורים’ הוא מורכב יותר משנדמה על סמך הלימודים בתיכון (שם הדיון מוגבל לרוב לטורים גיאומטריים) או אפילו על סמך התואר הראשון.                                                                                                       י

התחלנו בתזכורת לגבי המובן הרגיל של התכנסות טורים אינסופיים, המבוסס על התכנסות של סדרת הסכומים החלקיים של הטור, והמשכנו לדיון קצר לגבי טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל – אך מניפולציות אלגבריות פשוטות מצליחות “בכל זאת” לשייך ערך מספרי עבור טורים אלו. דנו בשלוש דוגמאות לטורים אינסופיים של מספרים שלמים ש”מתכנסים” למספר שברי, שלילי, או גם וגם, ונגענו (בעדינות רבה) בכמה מהכלים המתמטיים שפותחו עם השנים כדי להתמודד עם טורים מתבדרים.                       י

.כך למשל, עבור הטור  1-1+1-1+1... ראינו את העיסוק במקרים הגבוליים של נוסחת הסכום לסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ואת שיטת הסכימה של צ’זארו, שתי שיטות המשייכות את הערך \frac{1}{2} לטור זה

עבור הטור 1+2+4+8+... הזכרנו את השינוי בנקודת המבט לגבי איברי הטור, כך שניתן להתבונן בו כמייצג טור של מספרים 2-אדיים. מנקודת מבט זו (ובשונה מאד מאשר במובן הרגיל של התכנסות טורים, שם הטיעון הבא שגוי), האיבר הכללי של הטור שואף לאפס ולכן הטור מתכנס ב2-אדיים, ובפרט – מתכנס שם לערך -1 .      בנוסף, ברגע שמצאנו מובן עבור ההתכנסות של הטור, אנו מקבלים לגיטימיזציה לשימוש נקודתי במניפולציות האלגבריות על הטור אשר מביאות לאותו ערך.                            י

:עבור הטור 1+2+3+4+... ראינו כי המניפולציות האלגבריות מביאות לתוצאה שלגביה האינטואיטיציה שלנו נאלמת דום: -\frac{1}{12}. דוגמה למניפולציות אלו תוכלו לראות בסרטון הבא

.בנוסף, ציינתי בקצרה כי קיימות שיטות סכימה נוספות שמשייכות לטור זה את הערך הנ”ל, כגון שיטת הסכימה של אבל, שיטת הסכימה של רמנוג’אן, וגם פונקציית זטא של רימן

לסיכום – הקפיצה ממספר סופי של דברים למספר אינסופי אינה מובנת מאליה, וחלק מהאתגר הוא לבצע את הקפיצה באופן שישמר את התוצאות המוסכמות בקהילה. מתמטיקאים שונים בחרו בדרכים שונות, וחלק מהיופי שבמתמטיקה הוא הדרכים השונות להסתכל על אותו דבר, וכך להבין אותו טוב יותר.                                                                                                                                                                                                                                                             י

Wednesday, October 28, 2015

Lecture 1, Tue Oct 27, 2015

‘שלום כיתה א

Welcome to the 2015/6 season of the Rothschild–Caesaria course of Analysis for high school teachers! You are welcome to bookmark this site and check it for all kind of information relevant for the course, from room changes to new handouts, updated lecture notes etc. Below follows the brief synopsis of the first lecture.

Genesis

We discussed all kinds of paradoxes and possible controversies that may appear if we allow infinite sets, infinite procedures etc. They are listed in Section 1 (pages 1-5) here.

Numbers

The next subject was devoted to the numbers we use. The natural numbers \mathbb N=\{1,2,3,\dots\} can be axiomatically defined using the Peano axiom system, i.e., using the symbol | (usually written as 1) and the operation “next after x” (denoted in various sources as x^+ or \textrm{Succ}(x)). Applying this operation several times, one gets elements ||,|||,||||,|||||\dots which are usually denoted by 2,3,4,5,\dots. This construction emulates the process of counting, which is how the natural numbers appeared in the human culture. More about this here, pages 1-4.

From the “usual” natural numbers one can construct larger sets of “numbers”. This can be done in more than one way, e.g., the negative integer numbers can be introduced like here (sect. 1.2, pages 4-6).

Yet there is a more general construction which works surprisingly often. The idea is to “add solutions of equations which are not solvable in the usual sense”. For instance, the negative number -n can be introduced as the “solution” of the equation x+n+1=1 which has no solution x\in\mathbb N. Using the equation, we can derive rules of manipulation with such numbers. Once we check that they are not mutually contradicting (this is a boring but necessary step), the “extension” is done. For details see sect. 1.3 of the same Note.

This process, however, does not work always. Sometimes “ideal solutions” cannot be introduced without violating the existing rules. For instance, if we decide to add “solution” of the equation 0\cdot x=1 (kind of “infinity”) which has no solutions over \mathbb Z, then we get a contradiction: such “ideal number” cannot be added with the usual integers from \mathbb Z, see Sect. 1.4.

If we start with \mathbb N and extend it so that all linear equations of the form ax+b=c are solvable (except for the “impossible” case above), the result will be the set of all \mathbb Q of rational numbers. It is a field: addition, subtraction and multiplication is always possible in \mathbb Q, while division is possible by nonzero numbers only.

However, if we want solvability of equations of degree higher than 1, then the rational numbers again become insufficient. The equations x^2-2=0 and x^2+1=0 are not solvable in \mathbb Q, albeit for “different reasons”. Still we can adjoin either of them (or both) to \mathbb Q, see Sect. 2. In principle, we can adjoin (this would require some hard work) solutions to all polynomial equations of the form a_0 x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1} x+a_n=0 with rational coefficients a_0,\dots,a_n\in\mathbb Q. The corresponding set is called the (field of) algebraic numbers \overline{\mathbb Q}.

Still for many reasons it is insufficient. Algebra is not all 😉

Sunday, October 27, 2013

Lectures 1 and 2 (Oct. 22 & 29, 2013)

We start our course by first carefully walking in a zoo with several surprising, wonderful or dangerous beasts, all caught in the Jungle of Infinity. To tame them, we need to wear some protective gear made of ironclad formulas, operate from the safety of well defined sets and use the tools provided by functions 😉

The lecture notes (considerably updated and revised in comparison with the previous years) can be found here. Please report typos, errors and complain about obscure instances in the comments.

Please pay attention to the problems scattered over the text: they are mostly for self-control, but if you are not sure, you may write your solutions and submit them (e.g., in the comments to this post, but also directly to Inna, if you want to keep it private).

Sunday, November 13, 2011

Lecture 2. November 8, 2011

Infinity: first accurate steps

  1. Finite and infinite subsets of \mathbb N.
  2. Admissible infinite operations: infinite unions and intersections. Quantifiers.
  3. “Small” and “large” infinite subsets of \mathbb N.
  4. One-to-one maps as the means of comparison between various infinite sets.
  5. The first “paradox”: \mathbb N\times\mathbb N\simeq\mathbb N.

Download the pdf file for the complete exposition.

Thursday, November 3, 2011

Lecture 1, Nov. 1, 2011

First Encounter with Infinity

In the first lecture we discuss the dangers that are inherently present when we transcend our finite intuition and consider infinite quantities, constructions etc.

The first step to do is to clean up our language, restricting it to the most transparent and unambiguous grammar and vocabulary. This is the language of the sets and operations on them, and logical formulas involving quantifiers, to formulate meaningful (true or false) constructions.

Read the first lecture here.

P.S. Yet another funny and instructive book by N. Ya. Vilenkin, “In Search of Infinity”, can be downloaded here. Read slowly and enjoy!

Create a free website or blog at WordPress.com.